Question

【题目】小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．
（1）小平认为长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；
（2）小平提出将拐弯处改为圆弧（ 和 是以O为圆心，分别以OM和ON为半径的弧），长8m，宽3m的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM⊥OM′，你能帮小平算出，ON至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子？

Answer 1

【答案】
（1）解：消防车不能通过该直角转弯．

理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，

∵FH=EH=4，

∴EF=4 ，且∠GEC=45°，

∵GC=4，

∴GE=GC=4，

∴GF=4 ﹣4＜3，

即GF的长度未达到车身宽度，

∴消防车不能通过该直角转弯

（2）解：若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，

∴OG=4，OM=4 ，

∴OF=ON=OM﹣MN=4 ﹣4，

∴FG=OG﹣OF= ×8﹣（4 ﹣4）=8﹣4 ＜3，

∴C、D在 上，

设ON=x，连接OC，在Rt△OCG中，

OG=x+3，OC=x+4，CG=4，

由勾股定理得，OG2+CG2=OC2，

即（x+3）2+42=（x+4）2，

解得x=4.5．

答：ON至少为4.5米

【解析】（1）过点F作FH⊥EC于点H，根据道路的宽度求出FH=EH=4m，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF、GE的长度，相减即可得到GF的长度，如果不小于车身宽度，则消防车能通过，否则，不能通过；（2）假设车身C、D分别与点M′、M重合，根据等腰直角三角形的性质求出OG= CD=4，OC= CG=4 ，然后求出OF的长度，从而求出可以通过的车宽FG的长度，如果不小于车宽，则消防车能够通过，否则，不能通过；设ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG= CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式进行计算即可求出ON的最小值．
【考点精析】利用等腰直角三角形和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．