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已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)试求二次函数的解析式;
(2)求y的最大值;
(3)写出当y>0时,x的取值范围.
分析:(1)由二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3),分别把横坐标和纵坐标代入二次函数解析式,得到关于b与c的方程组,求出方程组的解得到b与c的值,进而确定出二次函数的解析式;
(2)由第一问求出的函数解析式,找出二次项系数a,根据a小于0,得到抛物线的开口向下,y有最大值,最大值即为顶点的纵坐标,利用顶点坐标公式即可求出y的最大值;
(3)令二次函数解析式中的y=0得到关于x的方程,求出方程的解即为二次函数与x轴交点的横坐标,根据图象可得出y大于0时x的范围.
解答:解:(1)∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3),
∴x=-1,y=0代入y=-x2+bx+c得:-1-b+c=0①,
把x=0,y=3代入y=-x2+bx+c得:c=3,
把c=3代入①,解得b=2,
则二次函数解析式为y=-x2+2x+3;

(2)∵二次函数y=-x2+2x+3的二次项系数a=-1<0,
∴抛物线的开口向下,
则当x=-
b
2a
=-
2
-2
=1时,y有最大值,最大值为
4ac-b2
4a
=4;

(3)令二次函数解析式中的y=0得:-x2+2x+3=0,
可化为:(x-3)(x+1)=0,
解得:x1=3,x2=-1,
由函数图象可知:当-1<x<3时,y>0.
点评:此题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数最值的求法,以及二次函数与不等式的关系,利用了转化及数形结合的数学思想,其中待定系数法确定函数解析式一般步骤为:设出函数解析式,把图象上点的坐标代入所设的解析式,得到方程组,求出方程组的解可得出系数的值,从而确定出函数解析式.
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其中正确的结论有(  )

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②④⑤
②④⑤
.(请写出所有正确说法的序号)

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(5,0)
(5,0)

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