Question

4．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE 垂直BC于F，且交BA的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB=4AD，⊙O的半径为12，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD、OD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到BD⊥AC，又BA=BC，利用等腰三角形的三线合一性质得到D为AC的中点，又O为AB的中点，可得出OD为三角形ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到OD∥BC，由EF⊥BC，得到DE⊥OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）由圆的半径为12，求出直径AB为24，由AB=4AD，求出AD的长，再由第一问得到D为AC的中点，得到CD=AD，即可求出CD的长．

解答 解：（1）直线DE与⊙O相切；理由如下：
连接BD、OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D为AC中点，又O是AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为12，
∴AB=24，
∵AB=4AD，
∴AD=6，
由（1）知OD为△ABC的中位线，
∴D为AC的中点，
∴CD=AD，
∴CD=6．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解决问题的关键．