Question

13．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（1）试判断上述方程根的情况．
（2）若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

分析 （1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，根据题意得m=x₁x₂，再利用根与系数关系表示出x₁x₂，列出m关于k的二次函数解析式，利用二次函数性质求出m的最小值即可；

解答 解：∵△=b²-4ac=（2k+3）²-4×（k²+3k+2）=1＞0，
∴方程有两个相等实数根；
（2）（2）设方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个根为x₁，x₂，根据题意得m=x₁x₂，
又由一元二次方程根与系数的关系得x₁x₂=k²+3k+2，
∴m=k²+3k+2=（k+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
则当k=-$\frac{3}{2}$时，m取得最小值-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，二次函数的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．