Question

已知抛物线y=x²+kx+2k-4
（1）当k=2时，求出此抛物线的顶点坐标；
（2）求证：无论k为任何实数，抛物线都与x轴有交点，且经过x轴一定点；
（3）已知抛物线与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（A在B的左边），|x₁|＜|x₂|，与y轴交于C点，且S_△ABC=15．问：过A，B，C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标．

Answer 1

解：（1）当k=2时，抛物线为y=x²+2x，
配方：y=x²+2x=x²+2x+1-1
得y=（x+1）²-1，
∴顶点坐标为（-1，-1）．（也可由顶点公式求得）

（2）令y=0，有x²+kx+2k-4=0，
此一元二次方程根的判别式
△=k²-4•（2k-4）=k²-8k+16=（k-4）²，
∵无论k为什么实数，（k-4）²≥0，
方程x²+kx+2k-4=0都有解，
即抛物线总与x轴有交点．
由求根公式得x=，
当k≥4时，x=，x₁==-2，x₂==-k+2；
当k＜4时，x=，x₁==-k+2，x₂==-2．
即抛物线与x轴的交点分别为（-2，0）和（-k+2，0），
而点（-2，0）是x轴上的定点．

（3）过A，B，C三点的圆与该抛物线有第四个交点．设此点为D．
∵|x₁|＜|x₂|，C点在y轴上，由抛物线的对称，可知点C不是抛物线的顶点．
由于圆和抛物线都是轴对称图形，过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形．
∵x轴上的两点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴过A、B、C三点的圆与抛物线的第四个交点D应与C点关于抛物线对称轴对称．
由抛物线与x轴的交点分别为（-2，0）和（-k+2，0）：
当-2＜-k+2，即k＜4时，A点坐标为（-2，0），B为（-k+2，0）．
即x₁=-2，x₂=-k+2．
由|x₁|＜|x₂|得-k+2＞2，解得k＜0．
根据S_△ABC=15，得AB•OC=15．
AB=-k+2-（-2）=4-k，
OC=|2k-4|=4-2k，
∴（4-k）（4-2k）=15，
化简整理得k²-6k-7=0，
解得k=7（舍去）或k=-1．
此时抛物线解析式为y=x²-x-6，
其对称轴为x=，C点坐标为（0，-6），它关于x=的对称点D坐标为（1，-6）；
当-2＞-k+2，由A点在B点左边，知A点坐标为（-k+2，0），B为（-2，0）．
即x₁=-k+2，x₂=-2．
但此时|x₁|＞|x₂|，这与已知条件|x₁|＜|x₂|不相符，
∴不存在此种情况．
故第四个交点的坐标为（1，-6）．（如图）
分析：（1）首先由k值确定抛物线的解析式，通过配方即可得到抛物线的顶点坐标．
（2）此题需要证明两点：①“无论k为任何实数，抛物线都与x轴有交点”．那么令抛物线的函数值为0，在所得方程中，证明根的判别式为非负数即可；
②“经过x轴一定点”．证明这一点方法较多，如：可由求根公式求出两根，或通过因式分解求出两根，观察两根的特点即可得出结论．
（3）首先判断是否存在第四个交点，由题干条件|x₁|＜|x₂|，显然抛物线的对称轴不是y轴，即C点不可能是抛物线的顶点（因为点C不在抛物线的对称轴上），由于抛物线和圆都是轴对称图形，那么必然存在第四个交点，所以解题的关键就转化为如何求k的值，可以从△ABC的面积入手．
首先，要求出AB和OC的长，由（2）已求得A、B点的坐标，根据|x₁|＜|x₂|，先得到k的取值范围，进而通过△ABC的面积求出k的值，代入抛物线的解析式中即可明确抛物线的对称轴方程，而C、D（设点D是第四个交点）关于抛物线的对称轴对称，那么点D的坐标就显而易见了．
点评：该题的难度较大，主要涉及了：二次函数与圆的性质、二次函数与方程的关系以及不等式的应用等综合知识．最后一题中，k的取值范围的确定是本题的难点所在．