Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=14，cos∠CAB= ，求线段OE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠CAB=∠ACB，

∴AB=CB，

∴ABCD是菱形．

∴AC⊥BD

（2）解：在Rt△AOB中，cos∠CAB= = ，AB=14，

∴AO=14× = ，

在Rt△ABE中，cos∠EAB= = ，AB=14，

∴AE= AB=16，

∴OE=AE﹣AO=16﹣ =

【解析】（1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可．