Question

11．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）直接写出，从运动开始经过6.5s，四边形ABQP是矩形；
（2）求从运动开始，使PQ=CD，需要经过多少时间？

Answer 1

分析 （1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26-2t，解此方程即可求得答案．
（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24-t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．

解答 解：根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，
∴DP=AD-AP=24-t（cm），BQ=26-3t（cm），
（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=6.5，
∴当t=6.5时，四边形ABQP是矩形；

（2）若PQ=DC，分两种情况：
①PQ=DC，由（1）可知，t=6，
②PQ≠CC，由QC=PD+2（BC-AD），
可得方程：3t=24-t+4，
解得：t=7．

点评 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．