Question

12．如图，折叠边长为a的正方形ABCD，使点C落在边AB上的点M处（不与点A，B重合），点D落在点N处，折痕EF分别与边BC、AD交于点E、F，MN与边AD交于点G．证明：
（1）△AGM∽△BME；
（2）若M为AB中点，则$\frac{AM}{3}$=$\frac{AG}{4}$=$\frac{MG}{5}$；
（3）△AGM的周长为2a．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和折叠的性质得出∠A=∠B，∠AGM=∠BME，再利用相似三角形的判定证明即可；
（2）设BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性质证明即可；
（3）设BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性质证明即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠AMG+∠AGM=90°，
∵EF为折痕，
∴∠GME=∠C=90°，
∴∠AMG+∠BME=90°，
∴∠AGM=∠BME，
在△AGM与△BME中，
∵∠A=∠B，∠AGM=∠BME，
∴△AGM∽△BME；
（2）∵M为AB中点，
∴BM=AM=$\frac{a}{2}$，
设BE=x，则ME=CE=a-x，
在Rt△BME中，∠B=90°，
∴BM²+BE²=ME²，即（$\frac{a}{2}$）²+x²=（a-x）²，
∴x=$\frac{3}{8}$a，
∴BE=$\frac{3}{8}$a，ME=$\frac{5}{8}$a，
由（1）知，△AGM∽△BME，
∴$\frac{AG}{BM}$=$\frac{GM}{ME}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴AG=$\frac{4}{3}$BM=$\frac{2}{3}$a，GM=$\frac{4}{3}$ME=$\frac{5}{6}$a，
∴$\frac{AM}{3}$=$\frac{AG}{4}$=$\frac{MG}{5}$；
（3）设BM=x，则AM=a-x，ME=CE=a-BE，
在Rt△BME中，∠B=90°，
∴BM²+BE²=ME²，即x²+BE²=（a-BE）²，
解得：BE=$\frac{a}{2}$-$\frac{x2}{2a}$，
由（1）知，△AGM∽△BME，
∴$\frac{C△AGM}{C△BME}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{2a}{a+x}$，
∵C_△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x，
∴C_△AGM=C_△BME•$\frac{AM}{BE}$=（a+x）•$\frac{2a}{a+x}$=2a．

点评 此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．