Question

5．已知抛物线C₁经过A（-1，0），B（0，3），C（3，0）三点，其顶点为点D，对称轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线C₁顶点D的坐标；
（2）将抛物线C₁平移得到将抛物线C₂，C₂的对称轴与x轴交于点E'，C₂与y轴交于点B'、顶点为D'，若△ABO与△D'B'E'相似，试求出此时抛物线C₂的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法以及配方成顶点式可得；
（2）如图1中，作DE∥AB交抛物线于E，作EG⊥抛物线的对称轴于G交抛物线于F，作EM⊥DE交对称轴于M，连接FM．则△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．想办法求出E、F、M三点坐标，利用平移的性质即可解决问题．如图2中，取Q（-11，0），连接DQ交抛物线于E，抛物线的对称轴交AC于K，作EG⊥抛物线的对称轴于G交抛物线于F，作EM⊥DE交对称轴于M，连接FM．则△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．想办法求出E、F、M三点坐标，利用平移的性质即可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点B（0，3）代入，得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．

（2）如图1中，作DE∥AB交抛物线于E，作EG⊥抛物线的对称轴于G交抛物线于F，作EM⊥DE交对称轴于M，连接FM．则△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．

∵A（-1，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为y=3x+3，
∵D（1，4），
∴直线DE的解析式为y=3x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（-2，-5），根据对称性可知F（4，-5），
∵EM⊥DE，
∴直线EM的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
∴M（1，-6），
∴EG=GF=3，GM=1，
观察图象可知，①当点E（-2，-5）平移到（0，0）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（3，9）．
②当点F（4，-5）平移到（0，0）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（-3，9）．
③当点E（-2，-5）平移到（0，1）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（3，10）．
④当点F（4，-5）平移到（0，1）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（-3，10）．
如图2中，取Q（-11，0），连接DQ交抛物线于E，抛物线的对称轴交AC于K，作EG⊥抛物线的对称轴于G交抛物线于F，作EM⊥DE交对称轴于M，连接FM．则△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．

∵直线DE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{11}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{2}{3}$，$\frac{13}{3}$），根据对称性F（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$），
∵EM⊥DE，
∴直线EM的解析式为y=-3x+$\frac{19}{3}$，
∴M（1，$\frac{10}{3}$），
∴EG=GF=$\frac{1}{3}$，MG=1，
观察图象可知，①当点E（$\frac{2}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，0）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
②当点F（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，0）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
③当点E（$\frac{2}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，1）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
④当点F（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，1）时，△ABO与△D'B'E'相似，此时抛物线C₂的顶点坐标D′（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
综上所述，满足条件的抛物线C₂的顶点坐标为（3，9）或（-3，9）或（3，10）或（-3，10）或（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、相似三角形的判定、坐标平移的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，本题的突破点是找到关键点E、F、M，学会构建函数，利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会利用坐标平移的性质解决问题，属于中考压轴题．