Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．
（1）填空：当t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；
（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据CD=速度×时间，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（2）分①CD=BC时，CD=15；②CD=BD时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可求CD；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；依此解答．

解答 解：（1）CD=2t，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=25，
AD=AC-CD=25-2t；
①∠CDB=90°时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AB•BC，
即$\frac{1}{2}$×25BD=$\frac{1}{2}$×20×15，
解得BD=12，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=9，
t=9÷2=4.5；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=25÷2=2.5．
综上所述，t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形

（2）①CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；
②CD=BD时，∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=12.5，
∴t=12.5÷2=6.25；
③BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；
则CF=DF，
∵BF=12，
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=9，
∴CD=2CF=9×2=18，
∴t=18÷2=9．
综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
故答案为：4.5或12.5秒．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．