Question

10．如图，射线QP与等边△ABC的两边AB．AC分别交于点M．N，且BC∥QP，AM=MB=2，QP=8，将等边△ABC从如图位置（点Q与点M重合）沿射线QP以1cm/s的速度向右移动，经过t（s），以点P为圆心，$\sqrt{3}$cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=4或5≤t≤9或t=10．．

Answer 1

分析 求出AB=AC=BC=4cm，MN=$\frac{1}{2}$BC=2cm，∠AMN=∠ANM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥BC，AM=BM．
∴N为AC中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=2，∠AMN=∠ANM=∠C=∠A=60°，PN=6，
分为三种情况：
①如图1，

当⊙P切AC于D时，连接PD，
则PD=$\sqrt{3}$，∠PDN=90°，
∵∠PND=∠ANM=60°，
∴DN=1，PN=2ND=2，
∴PM=4，
∴三角形移动的距离=6-2=4，
即t=4；

②如图2，
当⊙P于BC切于C点时，连接PC，
则∠BCP=∠CPM=90°，∠PC=∠ANM=60°，CP=$\sqrt{3}$，
∴PN=1，
∴三角形移动的距离=6-1=5，
即t=5，
当⊙P于BC切于B点时，连接PB，
则∠PBC=∠BPM=90°，∠PMB=∠AMN=60°，PB=$\sqrt{3}$，
∴PM=1，
∴三角形移动的距离=4cm+2cm+1cm=9，
∴t=9，
即当5≤t≤9时，⊙P和BC边相切；

③如图3，
当⊙P切AB于E时，连接PE
则PE=$\sqrt{3}$cm，∠PEM=90°，
∵∠PME=∠AMN=60°，
∴ME=1cm，PM=2，
∴三角形移动的距离=6+2+2=10，
即t=10；
注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在N点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．
故答案为：t=4或5≤t≤9或t=10．

点评 本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．