Question

9．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=$\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积为9-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 图中阴影部分由4个全等的等腰三角形和一个正方形组成，如图，作DH⊥AE于H，根据旋转的性质得∠DAF=90°，∠EAF=∠BAD=60°，AB=AE=$\sqrt{3}$，则∠DAE=30°，在Rt△ADH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可得DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{3}{2}$，所以HE=AE-AH=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，接着在Rt△DHE中，利用勾股定理得到DE²=DH²+HE²=6-3$\sqrt{3}$，所以图中阴影部分的面积=4S_△ADE+6-3$\sqrt{3}$=9-3$\sqrt{3}$．

解答 解：如图，作DH⊥AE于H，
∵菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°，
∴∠DAF=90°，∠EAF=∠BAD=60°，AB=AE=$\sqrt{3}$
∴∠DAE=30°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADH中，∵∠DAH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{3}{2}$，
∴HE=AE-AH=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
在Rt△DHE中，DE²=DH²+HE²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）²=6-3$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积=4S_△ADE+6-3$\sqrt{3}$
=4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+6-3$\sqrt{3}$
=9-3$\sqrt{3}$．
故答案为9-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．