Question

1．如图，在半圆中AB为直径，弦AC=CD=6$\sqrt{2}$，DE=EB=2，弧CDE的长度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}π$．

Answer 1

分析 过点E作EH⊥CD于H，连接OC、OE、AE，如图所示．根据弧、弦和圆周角的关系可得∠COE=90°，根据圆周角定理可得∠CAE=45°，再根据圆内接四边形对角互补及同角的补角相等可得∠HDE=45°，然后运用勾股定理可依次求出CE，CO，然后运用圆弧长公式就可解决问题．

解答 解：过点E作EH⊥CD于H，连接OC、OE、AE，如图所示．
∵AC=CD，DE=EB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CD}$，$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴∠CAE=45°．
∵∠CDE+∠CAE=180°，∠CDE+∠HDE=180°，
∴∠HDE=∠CAE=45°．
在Rt△DHE中，HE=DE•sin∠HDE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
DH=DE•cos∠HDE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
在Rt△CHE中，CE=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=10．
在Rt△COE中，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=5$\sqrt{2}$，
∴弧CDE的长度为$\frac{90π•5\sqrt{2}}{180}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}π$．
故答案为$\frac{5\sqrt{2}}{2}π$．

点评 本题主要考查了等弧与等弦及等圆心角之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、特殊角的三角函数值、勾股定理、圆弧长公式等知识，通过解三角形CDE求出CE，进而求出半径，是解决本题的关键．