Question

【题目】抛物线y=ax2+bx的顶点M（，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E．

（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；

（2）当0＜x＜2时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x（2）存在点P（+，）或（﹣，）使得四边形CDPE是平行四边形

【解析】

（1）由抛物线的对称性质求得点A的坐标，然后分别将点A、O的坐标代入函数解析式，列出关于a，b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；

（2）假设存在点P使得以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形，则PE∥CD且PE=CD．根据点的对称性质可得BF=3，结合三角形中位线定理求得PE=．根据x的取值范围确定点P应该在x轴的上方．可设点P的坐标为（x，），利用二次函数图象上点的坐标特征进行解答．

（1）依题意得：抛物线y=ax2+bx经过顶点M（，3）和（0，0），∴点A与原点关于对称轴x=对称，∴A（2，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；

（2）假设存在点P使得以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形，则PE∥CD且PE=CD．

由顶点M（，3）关于x轴的对称点B（，﹣3），可得：BF=3．

连接MB交x轴于F．

∵CD⊥x轴，BM⊥x轴，∴CD∥BF．

∵C为A′B的中点，∴CD是△A′BF的中位线，得PE=CD=BF=．

∵点A的坐标是（2，0），∴当0＜x＜2时，点P应该在x轴的上方．

可设点P的坐标为（x，），∴y=﹣x2+2x=，解得：x=±，满足0＜x＜2．

综上所述：存在点P（+）或（﹣）使得四边形CDPE是平行四边形．