【题目】抛物线y=ax2+bx的顶点M(,3)关于x轴的对称点为B,点A为抛物线与x轴的一个交点,点A关于原点O的对称点为A′;已知C为A′B的中点,P为抛物线上一动点,作CD⊥x轴,PE⊥x轴,垂足分别为D,E.
(1)求点A的坐标及抛物线的解析式;
(2)当0<x<2时,是否存在点P使以点C,D,P,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x(2)存在点P(+,)或(﹣,)使得四边形CDPE是平行四边形
【解析】
(1)由抛物线的对称性质求得点A的坐标,然后分别将点A、O的坐标代入函数解析式,列出关于a,b的方程组,通过解方程组求得它们的值即可;
(2)假设存在点P使得以点C,D,P,E为顶点的四边形是平行四边形,则PE∥CD且PE=CD.根据点的对称性质可得BF=3,结合三角形中位线定理求得PE=.根据x的取值范围确定点P应该在x轴的上方.可设点P的坐标为(x,),利用二次函数图象上点的坐标特征进行解答.
(1)依题意得:抛物线y=ax2+bx经过顶点M(,3)和(0,0),∴点A与原点关于对称轴x=对称,∴A(2,0),∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x;
(2)假设存在点P使得以点C,D,P,E为顶点的四边形是平行四边形,则PE∥CD且PE=CD.
由顶点M(,3)关于x轴的对称点B(,﹣3),可得:BF=3.
连接MB交x轴于F.
∵CD⊥x轴,BM⊥x轴,∴CD∥BF.
∵C为A′B的中点,∴CD是△A′BF的中位线,得PE=CD=BF=.
∵点A的坐标是(2,0),∴当0<x<2时,点P应该在x轴的上方.
可设点P的坐标为(x,),∴y=﹣x2+2x=,解得:x=±,满足0<x<2.
综上所述:存在点P(+)或(﹣)使得四边形CDPE是平行四边形.
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【题目】如图,直线y=ax+b(a≠0)与y轴交与点C,与双曲线y=(m≠0)交于A、B两点,AD⊥y轴于点D,连接BD,已知OC=AD=2,cos∠ACD=.
(1)求直线AB和双曲线的解析式.
(2)求△ABD的面积.
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【题目】某玩具店用2000元购进一批玩具,面市后,供不应求,于是店主又购进同样的玩具,所购的数量是第一批数量的3倍,但每件进价贵了4元,结果购进第二批玩具共用了6300元.若两批玩具的售价都是每件120元,且两批玩具全部售完.
(1)第一次购进了多少件玩具?
(2)求该玩具店销售这两批玩具共盈利多少元?
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【题目】某区为加快美丽乡村建设,建设秀美幸福薛城,对A,B两类村庄进行了全面改建.根据预算,建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元;甲镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投人资金1140万元.
(1)建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元?
(2)乙镇3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄的改建共需资金多少万元?
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【题目】某校诗词知识竞赛培训活动中,在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验,他们的10次成绩如下(单位:分)
整理,分析过程如下:
成绩 学生 | ||||||
甲 | 0 | 1 | 4 | 5 | 0 | 0 |
乙 | 1 | 1 | 4 | 2 | 1 | 1 |
(1)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示,请补充完整:
学生 | 极差 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | 83.7 | 86 | 13.21 | ||
乙 | 24 | 83.7 | 82 | 46.21 |
(2)若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛,你会选 (填“甲”或“乙”),理由为 .
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【题目】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
(1)如图a,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B﹣∠D.将点P移到AB、CD内部,如图b,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;
(2)在图b中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图c,则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系?(不需证明)
(3)根据(2)的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
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【题目】已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,某轮船沿正北方向航行,在点处测得灯塔在北偏西方向上,轮船以每小时海里的速度航行小时到达后,测得灯塔在北偏西方向上,问轮船到达灯塔的正东方向时,轮船距灯塔有多远?(结果精确到海里,参考数据:,,,,)
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【题目】如图,在□ABCD 中,E、F为对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;
(2)如果DE=3,EF=4,DF=5,求EB、DF两平行线之间的距离.
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