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【题目】抛物线y=ax2+bx的顶点M(,3)关于x轴的对称点为B,点A为抛物线与x轴的一个交点,点A关于原点O的对称点为A′;已知C为A′B的中点,P为抛物线上一动点,作CDx轴,PEx轴,垂足分别为D,E.

(1)求点A的坐标及抛物线的解析式;

(2)当0<x<2时,是否存在点P使以点C,D,P,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x(2)存在点P(+)或()使得四边形CDPE是平行四边形

【解析】

1)由抛物线的对称性质求得点A的坐标然后分别将点AO的坐标代入函数解析式列出关于ab的方程组通过解方程组求得它们的值即可

2)假设存在点P使得以点CDPE为顶点的四边形是平行四边形PECDPE=CD.根据点的对称性质可得BF=3结合三角形中位线定理求得PE=.根据x的取值范围确定点P应该在x轴的上方.可设点P的坐标为(x),利用二次函数图象上点的坐标特征进行解答

1)依题意得抛物线y=ax2+bx经过顶点M3)和(00),∴A与原点关于对称轴x=对称,∴A20),∴解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x

2)假设存在点P使得以点CDPE为顶点的四边形是平行四边形PECDPE=CD

由顶点M3)关于x轴的对称点B,﹣3),可得BF=3

连接MBx轴于F

CDxBMx,∴CDBF

CAB的中点,∴CDABF的中位线PE=CD=BF=

A的坐标是(20),∴0x2P应该在x轴的上方

可设点P的坐标为(x),∴y=﹣x2+2x=解得x=±满足0x2

综上所述存在点P+)或()使得四边形CDPE是平行四边形

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整理,分析过程如下:

成绩

学生

0

1

4

5

0

0

1

1

4

2

1

1

(1)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示,请补充完整:

学生

极差

平均数

中位数

众数

方差

83.7

86

13.21

24

83.7

82

46.21

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