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【题目】已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?

(3)过点Px轴的垂线,交线段AB于点D,再过点PPEx轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)点P(4,6).

【解析】1)利用待定系数法进行求解即可得;

(2)作PMOB与点M,交AB于点N,作AGPM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,设P(t,﹣t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PNOB列出关于t的函数表达式,利用二次函数的性质求解可得;

(3)由PHOBDHAO,据此由OA=OB=6得∠BDH=BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6x的值即可得出答案.

(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),

∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),

将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,

解得:a=﹣

所以抛物线解析式为y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6;

(2)如图1,过点PPMOB与点M,交AB于点N,作AGPM于点G,

设直线AB解析式为y=kx+b,

将点A(0,6)、B(6,0)代入,得:

解得:

则直线AB解析式为y=﹣x+6,

P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6,

N(t,﹣t+6),

PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t,

SPAB=SPAN+SPBN

=PNAG+PNBM

=PN(AG+BM)

=PNOB

=×(﹣t2+3t)×6

=﹣t2+9t

=﹣(t﹣3)2+

∴当t=3时,△PAB的面积有最大值;

(3)如图2,

PHOBH,

∴∠DHB=AOB=90°,

DHAO,

OA=OB=6,

∴∠BDH=BAO=45°,

PEx轴、PDx轴,

∴∠DPE=90°,

若△PDE为等腰直角三角形,

则∠EDP=45°,

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合,

则当y=6时,﹣x2+2x+6=6,

解得:x=0(舍)或x=4,

即点P(4,6).

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