Question

在锐角△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，D是垂足，BD=4，M、N分别是BD、BC上动点，则CM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：作△ABC关于直线AB的对称△ABC′，C′是C的对称点，连接C′N交AB于M′，由于∠ABC=45°，所以∠CBC′=90°，所以点N在点B时，CM+MN有最小值，
再根据BC=4

2

，即可求出BC′的长．

解答：解：作△ABC关于直线AB的对称△ABC′，C′是C的对称点，连接C′N交AB于M′，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC′=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴点N在点B时，CM+MN有最小值，
则BC′即为CM+MN的最小值，
∵C′是C的对称点，CD⊥AB，
∴C、D、C′三点共线，
∴△CBC′是等腰直角三角形，
∴BC′=BC，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，BD=4，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC=

2

BD=4

2

，
∴BC′=4

2

，
故答案为4

2

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形求解是解答此题的关键．