Question

如图，当抛物线y=ax²+bx+c经过点A（4

3

，0）和点B（2

3

，2）及原点O时；
（1）若△ABO内接于⊙P，求⊙P的半径；
（2）求该抛物线的解析式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由抛物线的对称性可知△ABC是等腰三角形，所以内接于⊙P的圆心P在OA的垂直平分线上，即作AB的垂直平分线角OA于D，连接OP，设⊙P的半径为r，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可求出r值；
（2）把点A（4

3

，0）和点B（2

3

，2）及原点O（0，0）代入抛物线的解析式y=ax²+bx+c求出a，b，c的值即可．

解答：解：（1）作AB的垂直平分线角OA于D，连接OP，设⊙P的半径为r，
∵点A（4

3

，0），点B（2

3

，2），
∴OD=2

3

，BD=2，
∴DP=r-2，
在Rt△OPD中，DP²+OD²=OP²，
∴（r-2）²+（2

3

）²=r²，
∴r=4，
即⊙P的半径是4；
（2）把点A（4

3

，0）和点B（2

3

，2）及原点O（0，0）代入抛物线的解析式y=ax²+bx+c得：

0=48a+4 3 b+c 2=12 3 a+2 3 b+c 0=c

，
解得：

a=- 1 6 b= 2 3 3 c=0

，
∴抛物线的解析式是y=-

1

6

x²+

2 3

3

x．

点评：本题综合考查了圆的有关知识，用到的知识点由垂直平分线的性质、抛物线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及利用待定系数法求二次函数的解析式，题目的综合性较强，难度中等．