Question

如图所示，已知∠C=90°，AB⊥AC，D、E、B在一直线上，∠ADE=2∠EDC，求证：BE=2AD．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：取BE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=

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BE，根据等边对等角可得∠B=∠BAF，在求出AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠EDC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠B，从而得到∠AFD=∠ADE，根据等角对等边可得AD=AF，然后等量代换即可得证．

解答：证明：如图，取BE的中点F，连接AF，
∵AB⊥AC，
∴AF=BF=

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BE，
∴∠B=∠BAF，
∵∠C=90°，AB⊥AC，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠EDC，
由三角形的外角性质得，∠AFD=∠B+∠BAF=2∠B，
∵∠ADE=2∠EDC，
∴∠AFD=∠ADE，
∴AD=AF，
∴AD=

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BE，
∴BE=2AD．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角和等角对等边，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．