Question

3．如图，?ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若?ABCD的周长为42cm，FM=6cm，EF=8cm，则EM=10cm，AB=15.5cm．

Answer 1

分析 由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN是矩形及∠EFM=90°，由FM=6cm，EF=8cm可求出EM．易证△ADF≌△CBN，从而得到DF=BN；易证△AFD∽△AEB，从而得到8DF=6AF．设DF=6k，则AF=8k．AE=8（k+1），BE=6（k+1），从而有AD=10k，AB=10（k+1）．由?ABCD的周长为42cm可求出k，从而求出AB长．

解答 解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
同理：∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BCM=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∠CDM=∠ADM=$\frac{1}{2}$∠ADC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．
∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．
在△ADF和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BCN}\\{AD=BC}\\{∠ADF=∠CBN}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CBN（ASA）．
∴DF=BN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∴∠AEB=90°．
同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．
∴∠EFM=90°．
∵FM=6，EF=8，
∴ME=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm）．
∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．
∴四边形EFMN是矩形．
∴EN=FM=6．
∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，
∴△AFD∽△AEB．
∴$\frac{DF}{BE}$=$\frac{AF}{AE}$．
∴$\frac{DF}{6+DF}$=$\frac{AF}{8+AF}$．
∴8DF=6AF．
设DF=6k，则AF=8k．
∵∠AFD=90°，
∴AD=10k．
∵∠AEB=90°，AE=8（k+1），BE=6（k+1），
∴AB=10（k+1）．
∵2（AB+AD）=42，
∴AB+AD=21．
∴10（k+1）+10k=21．
∴k=0.55．
∴AB=15.5（cm）．
故答案为：10；15.5．

点评 本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．