Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P，Q分别是边AD，BC上的动点，设AP=CQ=t（t＞0）．
（1）求证：四边形BPDQ是平行四边形；
（2）当四边形BPDQ是菱形时，求t的值；
（3）连结PQ、AC，若点A关于PQ所在直线的对称点A′恰好落在线段AC上时，则四边形BPDQ的面积是$\frac{21}{8}$（直接写出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AD∥CB，AD=BC，根据题意得到PD=BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论；
（2）根据菱形的四条边都相等和勾股定理列出方程，解方程求出t的值；
（3）根据题意和轴对称的性质得到四边形AQCP是菱形，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴PD=BQ，又AD∥CB，
∴四边形BPDQ是平行四边形；
（2）∵四边形BPDQ是菱形，
∴DQ=BQ=4-t，
由勾股定理得，（4-t）²=t²+3²，
解得t=$\frac{7}{8}$．
答：当四边形BPDQ是菱形时，t=$\frac{7}{8}$；
（3）由（1）得，四边形BPDQ是平行四边形，
∴BD与PQ互相平分，即PQ经过AC的中点，
∵点A关于PQ所在直线的对称点A′恰好落在线段AC上，
∴四边形AQCP是菱形，
∴AQ=AP，即3²+（4-t）²=t²，
解得t=$\frac{25}{8}$，即CQ=$\frac{25}{8}$，
则BQ=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
则四边形BPDQ的面积是$\frac{7}{8}$×3=$\frac{21}{8}$，
故答案为：$\frac{21}{8}$．

点评 本题考查的是矩形、菱形的性质以及平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形是解题的关键，注意勾股定理和轴对称的应用．