Question

如图（1），直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．
（1）若C（3，m），求m的值； 
（2）如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，若BE=BF，求证：AC+AE=2AB；
（3）经过B、C两点的⊙O₁交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O₁的大小发生变化时，

AS-CS

BT

的值变吗？若不变证明并求其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥x轴于E，可证△OAB≌△EBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m的值；
（2）作GE⊥x轴于G，可以通过先求出AE与EB的关系，证明结论；
（3）连接CT，ST，ST交BC于M，可知

AS-CS

BT

的值为45°余弦的倒数，从而求解．

解答：解：（1）作CE⊥x轴于E，
易证△OAB≌△EBC，
∴OB=OE-BE=3-OA=2，
∴CE=2，即m=2；
（2）作GE⊥x轴于G，
∵BE=BF，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠MFC，∠MFC+∠3=90°，∠4+∠1=90°
∴∠3=∠4，
∴EG=GB，
AE=

2

EB，
∴AC=

2

AB，
∵AE+EB=AB，
∴AE=（2-

2

）AB，
∴AC+AE=2AB；
（3）连接CT，ST，ST交BC于M，
则AS=TS，SC=SM，∠STA=45°，
∴AS-CS=MT，
∴

AS-CS

BT

=

1

BT MT

=

1

COS45°

=

2

．
故

AS-CS

BT

的值不变．

点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数的知识，难度较大．