Question

【题目】已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n．
（1）若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；
（2）若△ABC是有一个内角为30°的直角三角形，∠C为直角，sinA，cosB是方程x2+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+mx+n中，

，解得： ，

∴实数m=﹣4、n=3．

（2）解：当∠A=30°时，sinA=cosB= ，

∴﹣m= + ，n= × ，

∴m=﹣1，n= ；

当∠B=30°时，sinA=cosB= ，

∴﹣m= + ，n= × ，

∴m=﹣ ，n= ．

综上所述：m=﹣1、n= 或m=﹣ 、n=

【解析】（1）把A、B坐标代入解析式，利用待定系数法可求出;（2）由∠C为直角，可得∠A、∠B互为余角，sinA=cosB，直角三角形中有一个30°角，则可能∠A或∠B，代入三角函数值，由根与系数关系可求出.
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点和解直角三角形，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能得出正确答案．