Question

18．如图，已知AB，AC分别为⊙O的直径和弦，D是$\widehat{BC}$的中点，DE⊥AC于E，DE=3，AC=8．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明OD⊥BC；
（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=3，BC=2CF=6，利用勾股定理即可求得AB的长．

解答 （1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=3，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=6，
在Rt△ABC中，
AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10．

点评 本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．