Question

如图所示，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线．分别交于D，P．
（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC；
（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化，为什么？

Answer 1

解：（1）已知BD，CD是内角平分线，
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=×150°=75°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-75°=105°．
又∵∠CBE+∠BCF=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-150°=210°，
∵BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP+∠BCP=（∠CBE+∠BCF）=105°，
∴∠BPC=75°；

（2）不变，∠D+∠P=180°．
∵∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，
BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠D+∠P=180°．
分析：（1）已知BD，CD是内角平分线，∠A为30°，可利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求出∠BDC、∠BPC即可．
（2）本题考查的是三角形内角和定理．因为BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，又因为∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，易求出∠D+∠P的值不变．
点评：此类题解答的关键是利用角平分线的性质．重点是运用内角和定理求出∠BDC，∠BPC．