Question

【题目】材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：

①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；

②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；

③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；

④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；

⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．

根据以上材料解答下列问题：

（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为 ；

（2）求证：点Q在直线OM上；

（3）求证：∠MOB＝∠AOB；

（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

Answer 1

【答案】（1）(b，)；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解．

【解析】

（1）根据点P和点R的坐标，直接求出点M的坐标，即可；

（2）先用待定系数法，求出直线OM的解析式，再求出点Q的坐标，进而即可得到结论；

（3）根据矩形的性质，得∠SQR=∠SRQ，由作图过程中的条件，得PS=OP，由三角形外角的性质定理，结合点Q在直线OM上，可得∠PSO=2∠SQR，进而即可得证；
（4）既然能作出锐角的三等分角，先将钝角的一半（锐角）三等分，再作钝角的三等分角，即可．

（1）∵点P的坐标为(a，)，点R的坐标为(b，)，分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q，

∴M(b，)．

故答案是：(b，)；

（2）设直线OM的解析式为：y=kx，

把M(b，)代入y=kx，得=kb，解得：k=，

∴y=x，

由第（1）小题，可知：Q(a，)，

∴=a成立，

∴点Q在直线OM上；

（3）∵四边形PQRM是矩形，

∴SP=SQ=SR=SM=PR，

∴∠SQR=∠SRQ，

∵PR=2OP，

∴PS=OP=PR，

∴∠POS=∠PSO，

∵点Q在直线OM上，∠PSQ是△SQR的一个外角，

∴∠PSO=2∠SQR，

∴∠POS=2∠SQR，

∵QR∥OB，

∴∠MOB=∠SQR，

∴∠POS=2∠MOB，

∴∠MOB＝∠AOB；

（4）先作出钝角的一半，按照上述方法先将此钝角的一半(锐角)三等分，再作一个角与已作得的角相等，进而即可得到钝角的三等分角．