Question

【题目】如图，二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）设P是x轴上方的抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、A 、M为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）P(,1 ) (0，1).

【解析】试题分析：

（1）由已知条件可设二次函数的解析式为： ，化简整理为一般形式即可；由所得解析式可得点C的坐标为（0，1），再由勾股定理求得AC2、BC2、AB2，最后由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知∠ACB=90°，由PM⊥x轴可得∠PMA=90°，即∠ACB=∠PMA=90°，

因此当：①或②时，以点P、M、A为顶点的三角形与△ABC相似；设出点P的坐标，分以上两种情况讨论、计算即可.

试题解析：

(1)二次函数的图象与轴交于A，B两点，

∴ 抛物线的解析式为，即： ；
∴点C的坐标为（0，1）；
∴AC2=AO2+CO2=，

BC2= BO2+CO2=5，

AB2=；
∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；

（2）如图，∵PM⊥x轴，

∴∠PMA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PMA.

所以当： 或时，以点P、M、A为顶点的三角形与△ABC相似，

由点P在二次函数的图象上，可设其坐标为： ，

则由已知可得：PM=，AM= ，由此可得：

或 ，

解得： （不合题意，舍去）或（不合题意，舍去），

∴存在点P使以点P、M、A为顶点的三角形与△ABC相似，其坐标分别为： 和.