Question

关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围．
（2）若k≠0，试说明此方程有两个负根．
（3）在（2）的条件下，若|x₁|-|x₂|=4，求k的值．

Answer 1

解：（1）根据题意得△=4（k-1）²-4k²＞0，
解得k＜；
（2）∵k＜，k≠0，
∴x₁+x₂=2（k-1）＜0，x₁•x₂=k²＞0，
∴x₁，x₂都为负数，即此方程有两个负根；
（3）∵x₁，x₂都为负数，|x₁|-|x₂|=4，
∴-x₁+x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，
∴4（k-1）²-4k²=16，
∴k=-．
分析：（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）²-4k²＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，由于k＜，k≠0，所以x₁+x₂=2（k-1）＜0，x₁•x₂=k²＞0，然后根据有理数的性质得到x₁，x₂都为负数；
（3）先根据x₁，x₂都为负数，去绝对值得到-x₁+x₂=4，两边平方后变形得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，则4（k-1）²-4k²=16，然后解方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．