Question

（2012•营口）如图，直线y=-

4

3

x+8分别交x轴、y轴于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C、D两点．
（1）求点C的坐标；
（2）求△BCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由直线y=-

4

3

x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点，即可求得点A与B的坐标，即可得OA，OB，由勾股定理即可求得AB的长，由CD是线段AB的垂直平分线，可求得AE与BE的长，易证得△AOB∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，继而求得点C的坐标；
（2）易证得△AOB∽△DEB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得BD的长，又由S_△BCD=

1

2

BD•OC，即可求得△BCD的面积．

解答：解：（1）∵直线y=-

4

3

x+8，分别交x轴、y轴于A、B两点，
当x=0时，y=8；当y=0时，x=6．
∴OA=6，OB=8．
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=10，
∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=5．
∵∠OAB=∠CAE，∠AOB=∠AEC=90°，
∴△AOB∽△AEC，
∴

OA

AE

=

AB

AC

，
即

6

5

=

10

AC

，
∴AC=

25

3

．
∴OC=AC-OA=

7

3

，
∴点C的坐标为（-

7

3

，0）；

（2）∵∠ABO=∠DBE，∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△DEB，
∴

OB

BE

=

AB

BD

，
即

8

5

=

10

BD

，
∴BD=

25

4

，
∴S_△BCD=

1

2

BD•OC=

1

2

×

25

4

×

7

3

=

175

24

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、点与一次函数的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．