Question

5．如图，AB为⊙O的直径，延长AB到点C，使得2BC=3OB，过点C作⊙O的切线，交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，连接AD，作∠DAF=∠CAD，交CD的延长线于点F．
（1）试判断AF与CF的位置关系，并证明；
（2）若AB=4．
①求DF的长；
②连接OF，交AD于点M，求DM的长．

Answer 1

分析 （1）AF⊥CF，连接OD，由CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠CAD，于是求得∠FAD=∠ODA，推出AF∥OD，结论即可得出；
（2）①如图，连接OD，由CF是⊙O的切线，得到OD⊥CF，根据AB为⊙O的直径，AB=4，求得半径OD=OB=$\frac{1}{2}$AB=2，得到BC=3，根据射影定理和勾股定理得到CD=$\sqrt{21}$，CE=$\frac{21}{5}$，通过△CED∽△CFA，得到CF=$\frac{7\sqrt{21}}{5}$，②通过勾股定理和三角形相似即可解出结果．

解答 解：（1）AF⊥CF，
证明；连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵OA=OD，
∴∠CAD=∠ODA，
∵∠DAF=∠CAD，
∴∠FAD=∠ODA，
∴AF∥OD，
∴AF⊥CF；

（2）①如图，连接OD，
∵CF是⊙O的切线，
∴OD⊥CF，
∵AB为⊙O的直径，AB=4，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵2BC=3OB，
∴BC=3，
∵DE⊥AC，
∴CD²=CE•CO=OC²-OD²=5²-2²，
∴CD=$\sqrt{21}$，CE=$\frac{21}{5}$，
∵∠AFC=∠CED=90°，∠C=∠C，
∴△CED∽△CFA，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{CF}$，即$\frac{\sqrt{21}}{7}=\frac{\frac{21}{5}}{CF}$，
∴CF=$\frac{7\sqrt{21}}{5}$，
②∵CF=$\frac{7\sqrt{21}}{5}$，CD=$\sqrt{21}$，
∴DF=CF-CD=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$；
∵∠DAF=∠CAD，DF⊥AF，DE⊥AE，
∴DE=DF=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$，
∵AE=AC-CE=$\frac{14}{5}$，
∴AD=$\sqrt{{AE}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{70}}{5}$，
∵AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{14}{5}$
∵OD∥AF，
∴△OMD∽△AMF，
∴$\frac{OD}{AF}=\frac{DM}{AM}$，即$\frac{2}{\frac{14}{5}}=\frac{DM}{\frac{2\sqrt{70}}{5}-DM}$，
解得：DM=$\frac{\sqrt{70}}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，射影定理，角平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．