Question

在⊙O中，已知AB为直径，C、D是⊙O上两点，且C、D在AB的两侧，OD⊥AB，CD交AB于E点，过E作EF∥BC交AC于F点．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）若AF：CF=1：2，且CE=2，求△ACE的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用垂径定理得出

AD

=

BD

，进而得出∠ACD=∠BCD得出答案即可；
（2）首先得出EF=FC，利用勾股定理求出其长度，进而得出AC的长，最后求出三角形面积．

解答：（1）证明：∵AB为直径，OD⊥AB，
∴OD平分弧AB，即

AD

=

BD

，
∴∠ACD=∠BCD（弧相等，对应的角也相等）
即CD平分∠ACB；

（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=90°，
∴∠FEC=45°，
∴EF=FC，
∴EC=2，
∴EF=FC=

2

，
∵AF：CF=1：2，
∴AF=

2

2

，
∴AC=AF+FC=

3 2

2

，
∴S_△AEC=

1

2

×EF×AC=

1

2

×

2

×

3 2

2

=

3

2

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和垂径定理等知识，得出EF=FC的长是解题关键．