Question

阅读理解
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：

AB

BD

=

AC

CD

．
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，构造△ACD∽△EBD，则

AB

BD

=

AC

CD

．
于是小明得出结论：在△ABC中，AD平分∠BAC，则

AB

BD

=

AC

CD

．
请完成小明的证明过程．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有

BD

DC

=

BE

AC

，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．

解答：解：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴

BD

DC

=

BE

AC

，
又∵AD是角平分线，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴

AB

BD

=

AC

CD

．

点评：本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．