Question

如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交 CE于点G，连接BE．下列结论中：
①CE=BD；  ②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；    ④CD=EF．
一定正确的结论有（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④由②△ADC是等腰直角三角形和四边形ACDE是平行四边形，可得EF=CF，AF=DF，所以得△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°，即得CD≠CF，即CD≠EF．

解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∴故①正确；
②∵四边形ACDE是平行四边形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE都是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴②正确；
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，
∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，
又AB=AB，AD=AE，
∴△BAE≌△BAD（SAS），
∴∠ADB=∠AEB；
故③正确；
④已知四边形ACDE是平行四边形，
∴EF=CF，AF=DF，
又证得②△ADC是等腰直角三角形，
∴△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°，
∴CD≠CF，即CD≠EF，
故④CD=EF错误；
所以一定正确的结论有①②③，
故选A．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，是解决问题的关键．