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如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)求证:△ACE≌△ABD;
(2)若AC=2,EC=4,DC=2
2
.求∠ACD的度数;
(3)在(2)的条件下,直接写出DE的长为
2
10
2
10
.(只填结果,不用写出计算过程)
分析:(1)根据等腰直角三角形的性质可以得出∠EAC=∠DAB,再有AB=AC,AD=AE,根据SAS就可以得出结论;
(2)根据勾股定理可以求出BC的值为2
2
,就可以得出BC=DC,在△BCD中由勾股定理的逆定理可以得出△BCD为等腰直角三角形,就可以得出∠BCD=90°,从而得出∠ACD的度数;
(3)由(2)可以知道∠CDB=45°,而∠ABC=45°,就可以得出△ABD是直角三角形,由勾股定理就可以求出AB的值,再由勾股定理就可以求出DE的值.
解答:解:(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠EAC=∠BAD.
∵在△ACE和△ABD中
AE=AD
∠EAC=∠DAB
AC=AB

∴△ACE≌△ABD(SAS);

(2)∵△ACE≌△ABD(SAS),
∴DB=EC=4,
在Rt△ABC中,
AB2+AC2=BC2
∴BC2=22+22=8
在△DBC中,
BC2+DC2=8+8=16=42=BD2
∴∠DCB=90°
∴∠ACD=90°+45°=135°;

(3)∵BC2=8,DC2=8
∴BC=DC.
∵∠DCB=90°,
∴∠DBC=45°.
∵∠ABC=45°,
∴∠ABD=90°.
在Rt△ABD中由勾股定理,得
AD=
4+16
=2
5

在Rt△AED中由勾股定理,得
ED=
20+20
=2
10

故答案为:2
10
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,勾股定理的运用及勾股定理的逆定理的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时灵活运用勾股定理及逆定理是解答本题的关键
练习册系列答案
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如图,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共直角顶点,连AD,BE,F为线段AD的中点,连CF,
(1)如图1,当D点在BC上时,BE与CF的数量关系是
 
,位置关系是
 
,请证明.
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(2)如图2,把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角,其他条件不变,问(1)中的关系是否仍然成立?如果成立请证明.如果不成立,请写出相应的正确的结论并加以证明.
(3)如图3,把△DEC绕C点顺时针旋转45°,若∠DCF=30°,直接写出
BGCG
的值.

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10、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB和∠AED都是直角,点C在AD上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么点
A
是旋转中心,旋转的最小度数为
45
度.

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如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,BC=3,CD=1.
(1)求证:tan∠AEC=
BCCD

(2)请探究BM与DM的数量关系,并给出证明.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连接CE交AD于点F,连接BD交 CE于点G,连接BE.下列结论中:
①CE=BD;  ②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;    ④CD=EF.
一定正确的结论有(  )

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