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如图,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C为它们的公共直角顶点,连AD,BE,F为线段AD的中点,连CF,
(1)如图1,当D点在BC上时,BE与CF的数量关系是
 
,位置关系是
 
,请证明.
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(2)如图2,把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角,其他条件不变,问(1)中的关系是否仍然成立?如果成立请证明.如果不成立,请写出相应的正确的结论并加以证明.
(3)如图3,把△DEC绕C点顺时针旋转45°,若∠DCF=30°,直接写出
BGCG
的值.
分析:(1)通过证明△BCE≌△ACD,即可证得BE与CF的关系,通过等量代换,可得∠CBE+∠BCF=90°;
(2)延长CF到M,使FM=FC,连接AM,DM,得四边形AMDC是平行四边形,通过证明△MAC≌△ECB,即可证明;
(3)作BC的垂直平分线,交BG于点N,连接CN,BE、CF相交于点O,设OG=x,则CG=2x,CN=BN=2
3
x,NG=2x,即可得出.
解答:解:(1)BE与CF的数量关系是 BE=2CF,位置关系是 垂直.
证明:∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD,∠EBC=∠DAC,
∵F为线段AD的中点,
∴CF=AF=DF=
1
2
AD,
∴BE=2CF;
∵AF=CF,
∴∠DAC=∠FCA,
∵∠BCF+∠ACF=90°,
∴∠BCF+∠EBC=90°,
即BE⊥CF;

(2)旋转一个锐角后,(1)中的关系依然成立.精英家教网
证明:如图2,延长CF到M,使FM=FC,连接AM,DM,
又AF=DF,
∴四边形AMDC为平行四边形,
∴AM=CD=CE,∠MAC=180°-∠ACD,
∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD,
即∠MAC=∠BCE,
又∵AC=BC,
∴△MAC≌△ECB(SAS),
∴CM=BE;∠ACM=∠CBE,
∴BE=CM=2CF;
∴∠CBE+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°,
即BE⊥CF;

(3)
BG
CG
=1+
3
点评:本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质,考查了学生综合运用知识的能力.
练习册系列答案
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10、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB和∠AED都是直角,点C在AD上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么点
A
是旋转中心,旋转的最小度数为
45
度.

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如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,BC=3,CD=1.
(1)求证:tan∠AEC=
BCCD

(2)请探究BM与DM的数量关系,并给出证明.

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如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连接CE交AD于点F,连接BD交 CE于点G,连接BE.下列结论中:
①CE=BD;  ②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;    ④CD=EF.
一定正确的结论有(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)求证:△ACE≌△ABD;
(2)若AC=2,EC=4,DC=2
2
.求∠ACD的度数;
(3)在(2)的条件下,直接写出DE的长为
2
10
2
10
.(只填结果,不用写出计算过程)

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