Question

如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A、B、P三点的抛物线的解析式；
（3）点D与点A、B、C三点构成平行四边形，把（2）中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得的抛物线经过点D？请直接写出点D的坐标及相应平移方向与平移距离．

Answer 1

解：（1）如图1所示：
∵PA⊥PB，
∴∠2+∠3=90°，
∵AO⊥x轴，
∴∠1=∠2，
又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，
∴∠BCP=∠POA=90°，
∴△BCP∽△POA，
∴=，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴AO=4，BC=1，OC=4，
∴=，
解得：OP=2，
∴P（2，0）；

（2）设过点A，B，P三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y=x ²-x+4；

（3）如图2所示：当AB=PD₁，AB∥PD₁，此时AD₁PB是平行四边形，AD₁=PB=1，AO=4，则OD₁=3，
故D₁（0，3），利用抛物线过点A，则抛物线向下平移1个单位即可过点D₁；
当AP=BD₂，AP∥BD₂，此时AD₂BP是平行四边形，AD₂=PB=1，AO=4，则OD₂=5，
故D₂（0，5），利用抛物线过点A，则抛物线向上平移1个单位即可过点D₂；
当AB=PD₃，AB∥PD₃，此时APD₃B是平行四边形，PD₃=AB=5，A点和D₃点到PB距离相等为4，则点D₃到x轴距离为3，
故D₃（8，-3），∵y=x ²-x+4=（x-）²-，
∴设抛物线向下平移h个单位，则过点（8，-3），故-3=（8-）²--h，
解得：h=21，
故抛物线向下平移21个单位即可过点D₃．
分析：（1）利用垂直的性质首先得出∠1=∠2，进而得出△BCP∽△POA，根据=，求出OP的长即可得出P点坐标；
（2）利用点A，B，P三点的坐标，利用待定系数法求二次函数解析式y=ax ²+bx+c，即可得出答案；
（3）利用平行四边形的性质分别利用当AB=PD₁，AB∥PD₁，当AP=BD₂，AP∥BD₂，当AB=PD₃，AB∥PD₃，求出D点坐标，进而得出平移距离．
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式以及平行四边形的性质和图象的平移等知识，利用数形结合得出P点坐标以及D点位置是解题关键．