Question

如图，在△ABC中，∠B=46°，D是边BC上的一点，∠BAD=21°，DC=AB，∠CDE=46°，DE=BD，连接CE．
（1）求证：CE=AD；         
（2）求证：∠ACE=∠CAD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）要证CE=AD，只需证明△EDC≌△DBA即可；
（2）在CD上取点F，使得CF=BD，易证△ADB≌△AFC（SAS），从而可得∠B=∠ACF=46°，进而可求出∠CAD、∠ACE的度数，问题得以解决．

解答： 证明：（1）∵∠B=46°，∠CDE=46°，
∴∠B=∠EDC，
在△EDC和△DBA中，

DE=BD ∠CDE=∠B DC=AB

，
∴△EDC≌△DBA（SAS），
∴CE=AD；

（2）在CD上取点F，使得CF=BD，如图，
则有BF=CD．
∵△EDC≌△DBA，
∴∠ECD=∠DAB=21°，CE=AD，
∴BF=CD=AB，
∴∠BAF=∠BFA=

180°-46°

2

=67°．
∵∠ADF=∠BAD+∠B=21°+46°=67°，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，∠ADB=∠AFC．
在△ADB和△AEC中，

AD=AF ∠ADB=∠AFC BD=CF

，
∴△ADB≌△AFC（SAS）
∴∠B=∠ACF=46°
∴∠CAD=180°-67°-46°=67°．
∵∠ACE=∠ACF+∠ECD=46°+21°=67°，
∴∠ACE=∠CAD．

点评：本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解决第（2）小题的关键．第（2）小题还可进行以下证明：延长AD、CE于O，易证∠ODE=∠OED，则有OD=OE，由CE=AD可得OA=OC，由此可得∠ACE=∠CAD．