Question

2．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，四边形PQMN是内接正方形．
（1）求证：PQ²=BQ•CM；
（2）若BQ=16，CM=9，求正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形知PQ=MN，再证△CMN∽△PQB可得$\frac{CM}{PQ}$=$\frac{MN}{BQ}$，即$\frac{CM}{PQ}=\frac{PQ}{BQ}$，即可得出答案；
（2）将BQ=16、CM=9代入PQ²=BQ•CM即可得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CMN=∠PQB=90°，PQ=MN，
∴∠C+∠CNM=90°，
又∵∠C+∠B=90°，
∴∠CNM=∠B，
则△CMN∽△PQB，
∴$\frac{CM}{PQ}$=$\frac{MN}{BQ}$，即$\frac{CM}{PQ}=\frac{PQ}{BQ}$，
则PQ²=BQ•CM；

（2）当BQ=16、CM=9时，
由PQ²=BQ•CM可得PQ²=16×9=144，
∵PQ＞0，
∴PQ=12，即正方形的边长为12．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的判定、性质是解题的关键．