Question

11．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，4），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（-$\frac{15}{17}$，$\frac{60}{17}$）．

Answer 1

分析 先过D作DH⊥y轴于H，设OE=x，则CE=4-x，DE=x，在Rt△DCE中，根据勾股定理得到（4-x）²=x²+1²，求得DE=$\frac{15}{8}$，CE=$\frac{17}{8}$，再根据面积法求得DH，根据勾股定理求得CH的长，进而得出点D的坐标．

解答 解：如图，过D作DH⊥y轴于H，
∵点B的坐标为（1，4），
∴AO=1，AB=4，
根据折叠可知：CD=BC=1，∠BAC=∠DAC，
由AB∥CO，可得∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴CE=AE，
∴OE=DE，
设OE=x，则CE=4-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（4-x）²=x²+1²，
∴x=$\frac{15}{8}$，
∴DE=$\frac{15}{8}$，CE=$\frac{17}{8}$，
又∵DH⊥CE
∴$\frac{1}{2}$CE×DH=$\frac{1}{2}$CD×DE，
∴DH=$\frac{CD×ED}{CE}$=$\frac{15}{17}$，
∴Rt△CDH中，CH=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{15}{17}）^{2}}$=$\frac{8}{17}$，
∴OH=4-$\frac{8}{17}$=$\frac{60}{17}$，
∵点D在第二象限，
∴D（-$\frac{15}{17}$，$\frac{60}{17}$），
故答案为：（-$\frac{15}{17}$，$\frac{60}{17}$）．

点评 此题主要考查了折叠问题，坐标与图形的性质以及矩形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．