Question

将一块a×b×c的长方体铁块（如图1所示，其中a＜b＜c，单位：cm）放入一长方体（如图2所示）水槽中，并以速度v（单位：cm³/s）匀速向水槽注水，直至注满为止．已知b为8cm，水槽的底面积为180cm²．若将铁块b×c面放至水槽的底面，则注水全过程中水槽的水深y（cm）与注水时间t（s）的函数图象如图3所示（水槽各面的厚度忽略不计）．
（1）水槽的深度为

 

cm，a=

 

cm；
（2）注水速度v及c的值；
（3）将铁块的a×b面、a×c面放至水槽的底面，试分别求注水全过程中水槽的水深y（cm）与注水时间t（s）的函数关系及t的取值范围，并画出图象（不用列表）．

Answer 1

分析：（1）直接根据图3可知，0-21s时由于铁块在水槽里，水面上升的速度快，故可得a值；21-66s时，水淹没铁块后一直到水注满，故可得水槽深度．
（2）由（1）可知注水的时间和高度，分别用“水槽高度是5cm时的体积=铁块体积+注水21s时水的体积”“水槽高度是10cm时的体积=铁块体积+注水66s时水的体积”作为相等关系类方程组，求解即可．
（3）由（2）可知：①以a×b面为底面时，铁块高度大于水槽高度，设注满水的时间为t₁s，列式为180×10=5×8×10+20t₁，先求得时间t₁，可得到自变量取值范围，再根据“水槽高度是ycm时的体积=铁块体积+注水ts时水的体积”作为相等关系列方程，整理即可求解；②以a×c面为底面时，铁块高度小于水槽高度，设水刚至铁块顶部的时间为t₂s，同①中方法先求得t₂，再列方程表示出y，t之间的关系整理即可．

解答：解：（1）根据图3可知，分段函数的连接出坐标是（21，5），即21s时，水面高度是5cm，即a=5；函数图象的末尾是（66，10），即66s时，水注满水槽，故水槽深度是10cm．
故填空依次为：10，5（2分）

（2）由题意

180×5=5×8×c+21v 180×10=5×8×c+66v

（3分）
解得v=20，c=12
即注水速度为20cm³/s，c=12cm．（4分）

（3）①以a×b面为底面时，
∵c=12＞10，即此时铁块高度大于水槽高度
设注满水的时间为t₁s
∴180×10=5×8×10+20t₁解得t₁=70s（5分）
∵（180-5×8）y=20t
∴y=

1

7

t（0≤t≤70）（6分）
（画出图象）（7分）

②以a×c面为底面时
∵b=8＜10，即此时铁块高度小于水槽高度
∴注满水时所用时间为66s（8分）
设水刚至铁块顶部的时间为t₂s
∴180×8=5×8×12+20t
解得t₂=48（9分）
当0≤t≤48时，（180-5×12）y=20t，即y=

1

6

t（10分）
当48＜t≤66时，180（y-8）=20（t-48），即y=

1

9

t+

8

3

即y=

1 6 t，(0≤t≤48) 1 9 t+ 8 3 ．(48＜t≤66)

．（11分）
（画出图象）（12分）

点评：本题根据实际问题考查了一次函数的运用和一次函数图形的作法，在此题中作图关键是联系实际的变化，确定拐点．