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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C、D，且点D的坐标为（1，6）．
    （1）如图1，当点C的横坐标为2时，求点C的坐标和的值；
    （2）如图2，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．
    ①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
    ②当时，求点C的坐标和tan∠OAB的值；
    （3）若tan∠OAB=，请直接写出的值（不必书写解题过程）

    【答案】分析：（1）由点D（1，6）在反比例函数y=的图象上可求出m的值，进而得出反比例函数的解析式，再由点C的横坐标为2即可得出其纵坐标，故可得出C点坐标；再算出一次函数解析式，进而得到A、B点坐标，然后可算出的值；
    （2）①设C（a，b），则ab=6，由S△EFC=|ab|=3，S△EFD=×1×6=3，可得△EFC的面积和△EFD的面积相等；
    ②先证明四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，故可得出CE=BF，∠FDB=∠EAC，再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC，故AC=BD，设CD=2k，AB=k，DB=，
    可得=，再证明△DFB∽△AOB，可算出OA=2，OB=4，进而得到tan∠OAB==2．
    （3）根据1.2两图，要分两种情况，一是k=，二是k=-．
    解答：解：（1）∵D（1，6）在y=上，
    ∴m=6，即双曲线解析式是 y=，
    当C点横坐标为2时，纵坐标为3，
    ∴C（2，3）．
    直线AB过点C（2，3），D（1，6），得，
    解得：，
    故直线AB的解析式为y=-3x+9．
    ∴B（0，9），A（3，0），
    ∴AB=3，
    ∵C（2，3），D（1，6），
    ∴CD=
    ∴=；

    （2）①设C（a，b），则ab=6，
    ∵S△EFC=（-a）（-b）=ab=3，而S△EFD=×1×6=3，
    ∴S△EFC=S△EFD；
    ②∵S△EFC=S△EFD，且两三角形同底，
    ∴两三角形的高相同，
    ∴EF∥CD，
    ∵DF∥AE，BF∥CE，
    ∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
    ∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
    在△DFB与△AEC中，
    ∵，
    ∴△DFB≌△AEC，
    ∴AC=BD，
    ∵=2，设CD=2k，AB=k，DB=，
    ∴=，
    ∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=ABO，
    ∴△DFB∽△AOB，
    ∴===，
    ∵DF=1，
    ∴OA=2，
    ∵OF=6，
    ∴OB=4，
    ∴tan∠OAB==2．
    ∵OA=2，OB=4，
    ∴A（-2，0），B（0，4），
    ∴直线AB的解析式为y=2x+4，
    联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得，
    解得：，，
    ∴C（-3，-2）．


    （3）如图2，直线与双曲线过D点（1，6），带入双曲线方程6=，
    解得：m=6，
    带入直线方程，6=k+b，b=6-k，
    所以直线方程变为y=kx+6-k，
    ∵tan∠OAB=，
    ∴直线方程的斜率为，即k=，
    ∴b=，
    ∴直线方程为y=x+，
    ∴A的坐标为（-41，0），B（0，），
    再将直线方程带入双曲线方程有=x+，解得x=1或-42，
    当x=-42，y=-，
    过C做平行于x轴的直线，过D做平行于y的直线，两直线相交与M，
    ∴△AOB∽△CMD，
    ∴=，
    CM=1-（-42）=43，AO=41，所以=．
    如图1：∵tan∠OAB=，
    ∴直线方程的斜率为，即k=-，
    ∴b=，
    ∴直线方程为y=-x+，
    ∴A的坐标为（43，0），B（0，），
    再将直线方程带入双曲线方程有=-x+，解得x=1或42，
    当x=42，y=，
    ∵△AOB∽△CPD，
    ∴=，
    CP=42-1=41，AO=43，
    ∴=．
    综上所述：的值为或．
    点评：本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，三角函数定义，题目综合性较强．
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    （2）求这个函数的解析式；
    （3）如果这个函数图象的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．

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    （2）当反比例函数y=
    kx
    的图象与⊙O有四个交点时，求k的取值范围；
    （3）试探究当n取不同的数值时，二次函数y=x2+n的图象与⊙O交点个数情况．

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    （1）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
    （2）求y与t之间的函数关系式和t的取值范围；
    （3）当△PBC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

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