Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．

Answer 1

解：（1）连接OB，则OA=OB；
∵∠OAB=35°，
∴∠OBA=∠OAB=35°，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，
∴∠AOB=180°-35°-35°=110°，
∴β=∠C=∠AOB=55°．

（2）α与β之间的关系是α+β=90°；
证明：∵∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOB=180°-2α，
∵β=∠C=∠AOB，
∴β=（180°-2α）=90°-α，
∴α+β=90°．
分析：（1）连接OB，根据三角形外心的性质可知：OA=OB；则在等腰△AOB中∠OBA=∠OAB；则再根据三角形内角和定理可以求得∠AOB的度数；最后根据圆周角定理可以求得β的度数；
（2）由（1）可猜想α与β之间的关系是α+β=90°；同（1）一样∠OBA=∠OAB=α，则∠AOB=180°-2α，β=∠C=∠AOB，所以可求β=（180°-2α）=90°-α，则α+β=90度．
点评：本题考查了三角形的外接圆的性质以及圆周角定理．要熟练掌握这些性质定理才能灵活运用．