Question

12．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与Rt△OAB的两边OA，AB分别交于C，D两点，∠OBA=90°，点B坐标为（2，0），且BD：OB=1：2，BD：AD=1：3，连接CD，DO．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）将△OCD先沿x轴的正方形平移3个单位长度，再沿y轴的正方向平移3个单位长度，得到△O′C′D′，要使反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象与△O′C′D′有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得OA的解析式，然后解OA的解析式和过D点的反比例函数的解析式组成的方程组即可求得；
（3）首先求得O'、C'、D'的坐标，当反比例函数y=$\frac{m}{x}$经过点（3，3）时m最小，当反比例函数与直线C'D'只有一个公共点，即两个函数组成的方程组只有一个解时m最大，据此即可求得m的范围．

解答 解：（1）D的坐标是（2，1），代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=2，
则函数的解析式是y=$\frac{2}{x}$；
（2）设直线OA的解析是y=kx，把A（2，4）代入得：k=2，
则解析式是y=2x．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$（舍去）．
则C的坐标是（1，2）；
（3）O'、C'、D'的坐标分别是（3，3），（4，5）和（5，4）．
当反比例函数y=$\frac{m}{x}$经过点（3，3）时，m最小，最小值是9．
经过点（4，5）和（5，4）直线是y=kx+b．
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=5}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=9}\end{array}\right.$，
则解析式是y=-x+9．
根据题意得：-x+9=$\frac{m}{x}$，即x²-9x+m=0，
△=81-4m=0，
解得：m=$\frac{81}{4}$．
则m的范围是：9≤m≤$\frac{81}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确理解m的值最大的条件是解决本题的关键．