Question

【题目】如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC交于点Q，则线段QP的最小值是 ．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

试题分析：根据圆周角定理求出∠DQP=∠DPQ=60°，求出△PDQ是等边三角形，推出PQ=DP，求出PD的最小值，即可得出答案．

连接DQ，

∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠DAB=60°， ∴∠DQP=∠DAB=60°，∠DPQ=∠DAC=60°，

∴∠DQP=∠DPQ=60°， ∴△PDQ是等边三角形， ∴DP=PQ， 在△DAP中，由余弦定理得：DP2=AD2+AP2﹣2ADAPcos∠DAP， ∵∠DAP=60°，AD=4， ∴DP2=PA2﹣4PA+16=（PA﹣2）2+12， 即当PA=2时，DP2有最小值12， 即DP=2， ∴PQ的最小值是2