Question

6．已知二次函数y=-x²+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=2²+4m＞0于是得到m＞-1；
（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=-x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=-x+3即可得到结果．

解答 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=2²+4m＞0
∴m＞-1；

（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=-9+6+m
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵抛物线y=-x²+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P（1，2）．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键．