Question

11．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=6cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠ABC=∠APC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可证得：△ABC是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和锐角三角函数计算．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠ABC=∠APC=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵△ABC为等边三角形，点O△ABC的内心，
∴OC是∠ACB的平分线，
∴∠OCD=30°，
在Rt△ODC中，DC=3，∠OCD=30°，
∴OC=$\frac{CD}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径为2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．