Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，且CO=BO=3AO，AB=4，抛物线的顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点E（0，n）在y轴正半轴上，且位于点C的下方．当n在什么范围内取值时∠CBD＜∠CED？当n在什么范围内取值时∠CBD＞∠CED？
（3）若过点B的直线垂直于BD且与直线CD交于点P，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）设AO=m，
∵CO=BO=3AO，AB=4
∴CO=BO=3m，
∴m+3m=4，m=1
∴A、B、C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）二次函数=-x²+2x+3的顶点D的坐标为（1，4），
过点D作DH⊥y轴于H，
∴DH=1，CH=OH-OC=1
∴CD=，
由题意，得BC=3，BD=2
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD为直角三角形，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=
若∠CBD=∠CED，则tan∠CBD=tan∠CED
在Rt△EDH中，tan∠CED==
∴EH=3，
∴OE=1，
∴此时点E的坐标为（0，1），
∵点E位于点O的下方，
∴当1＜n＜3时，∠CBD＜∠CED，
当0＜n＜1时，∠CBD＞∠CED；

（3）∵△BCD为直角三角形，
∴BC⊥CD
∵过点B的直线垂直于BD且与直线CD交于点P
∴BP⊥BD
∴△BCD∽△PCB
∴BC²=CD•PC，
∴PC=9
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∵C点的坐标为（0，3），D坐标为（1，4）
∴直线CD的解析式为y=x+3，
∴直线CD与x轴交点K的坐标为（-3，0）
∴OC=OK=3，
∴∠CKO=∠FKP=45°，
∴CK=3，
∴PK=6
过点P作PF⊥x轴于点F，
∴PF=6，FK=6，
∴P点的坐标为（-9，-6）．
分析：（1）设AO=m，利用CO=BO=3AO，AB=4，得到CO=BO=3m，从而求得m的值后确定A、B、C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）求得二次函数=-x²+2x+3的顶点D的坐标，过点D作DH⊥y轴于H，利用DH=1，CH=OH-OC=1，得CD=，得到CD²+BC²=BD²，利用勾股定理的逆定理得到△BCD为直角三角形，利用锐角三角函数得到点E的坐标为（0，1），从而确定当1＜n＜3时，∠CBD＜∠CED，
当0＜n＜1时，∠CBD＞∠CED；
（3）根据△BCD为直角三角形，得到BC⊥CD，然后证得BCD∽△PCB，利用BC²=CD•PC求得PC=9，从而确定直线CD的解析式为y=x+3，然后求得CK=3、PK=6，过点P作PF⊥x轴于点F，得到PF=6，FK=6，从而确定P点的坐标为（-9，-6）．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，难度较大．