Question

如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积（其中л≈3，≈1.7）．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°
又∵AC平分∠BCD，
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30度．
∴，∠B=60度．
∴∠BAC=90°，
∴BC是圆的直径，BC=2AB．
∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴AB=AD=DC=2cm，BC=4cm．
∴此圆的半径为2cm．

（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴OE=OA•cos30°=cm．
∴S_△AOD==（cm²）．
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△OAD=-=-≈0.3（cm²）．
分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得∠CAD=∠ACD=∠ACB=30°．再根据圆周角定理的推论得到弧AB=弧AD=弧CD，则AB=AD=CD，同时根据角的度数可以求得∠BAC=90°，根据直角三角形30度所对的直角边是斜边的一半，求得BC=2AD，再根据四边形的周长列方程计算；
（2）由（1）可以发现BC是直径，设其圆心是O，连接OA，OD，根据两条平行线间的距离处处相等，得到三角形AOD的面积等于三角形ACD的面积，则阴影部分的面积等于扇形OAD的面积减去三角形AOD的面积．
点评：此题中要通过计算角的度数，发现直角三角形和等腰三角形．根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算．尤其是在第二问中，能够把不规则图形的面积转化为构造图形的面积．