Question

【题目】在等腰Rt△ABC中，CA=BA，∠CAB=90°，点M是AB上一点，

（1）点N为BC上一点，满足∠CNM=∠ANB．

①如图1，求证：；②如图2，若点M是AB的中点，连接CM，求的值；

（2）如图3，若AM=1，BM=2，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，猜测△CPD面积是否有最小值，若有，请求出最小值：若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②；（2）4.

【解析】分析：

（1）①由已知条件易得∠B=∠C，∠BNM=∠CAN，从而可得△BNM∽△CNA，由此可得BM：CA=BN：CN结合CA=AB即可得到所求结论；

②如下图2，过点B作BH⊥BA交AN的延长线于点H，则结合已知条件易得△BMN≌△BHN，由此可得BH=BM=AM，从而可得△ACM≌△BAH，由此可得CM=AH=AN+NH=AN+NM，从而可得，结合由①中△BNM∽△CAN可得的：MN：AN=MB：AC=1：2即可求得所求比值；

（2）如下图3，设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA，CB分别交于点P′，D′，则M不是P′D′中点，此时存在MD′＞MP′或MD′＜MP′两种情况，在两种情况下，分别证明S△P′CD′＞S△PCD即可说明当点M是PD中点时，△PCD的面积最小，然后，如下图4，过点D作DH⊥AB于点H，证得△DHM≌△PAM，进一步证得△DBM和△PCD此时是等腰直角三角形，这样结合题目中的已知数量即可求得此时△PCD的面积了.

详解：

（1）① ∵CA=BA，∠CAB=90°，

∴∠C=∠B=45°，

∵∠CNM=∠ANB，

∴∠CNM﹣∠ANM=∠ANB﹣∠ANM，

∴∠ANC=∠BNM，

∴△CNA∽△BNM，

∴，

∵CA=BA，

∴；

② 作BH⊥BA交AN的延长线于H，

∵ 在△BMN和△BHN中，

∠MBN=∠HBN=45°，BN=BN，∠MNB=∠HNB，

∴△BMN≌△BHN，

则△ACM≌△BAH，

∴CM=AH=AN+NH=AN+NM，

由①△CNA∽△BNM，点M是AB的中点，

∴=2，

∴=；

（2）设点M是PD中点，过点M作直线P′D′与射线CA，CB分别交于点P′，D′，

则点M不是P′D′的中点，当MD′＞MP′时，在MD′上截取ME=MP′，连接DE，

则△MPP′≌△MDE，

∴S△P′CD′＞S四边形P′CDE=S△PCD，

当 MD′＜MP′时，同理可得，S△P′CD′＞S△PCD，

∴当点M是PD中点，△CPD面积的最小．

如图4，作DH⊥AB于H，

则△DHM≌△PAM．

∴AM=1，MH=1，BH=1，

∴△MDB是等腰直角三角形，

∴DH=BH=AP=1，∠PDC=90°，

∴△PCD是等腰直角三角形，CP=3+1=4，

∴△PCD的面积=4．