Question

已知：如图，直线与双曲线交于A、B两点，且点A的坐标为（6，m）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点C（n，4）在双曲线上，求△AOC的面积；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找出一点P，使△AOC的面积等于△AOP的面积的三倍．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A（6，m）在直线y=x上，
∴m=×6=2，
∵点A（6，2）在双曲线上，
∴，解得k=12，
∴双曲线的解析式为y=；

（2）作CD⊥x轴于D点，AE⊥x轴于E点，如图，
∵点C（n，4）在双曲线上，
∴，解得n=3，即点C的坐标为（3，4），
∵点A，C都在双曲线上，
∴S_△OCD=S_△AOE=×12=6，
∴S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=（CD+AE）•DE=（4+2）×（6-3）=9；
（3）∵S_△AOC=9，
∴S_△AOP=3，
设P点坐标为（x，0），而A点坐标为（6，2），
∴S_△AOP=×2×|x|=3，解得x=±3，
∴P（3，0）或P（-3，0）．
分析：（1）先把点A（6，m）代入y=x可求出m确定A点坐标，然后把A点坐标再代入即可求出k的值，从而确定双曲线的解析式；
（2）作CD⊥x轴于D点，AE⊥x轴于E点，先把点C（n，4）代入可求出n的值，则可确定点C的坐标为（3，4），根据反比例函数的性质得到S_△OCD=S_△AOE=×12=6，然后利用
S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，进行计算；
（3）由（2）得到S_△AOC=9，则S_△AOP=3，而A点坐标为（6，2），设P点坐标为（x，0），则×2×|x|=3，解出x即可得到P点坐标．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积公式．