Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、E、B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“双抛物线”．已知P为AB的中点，且P(－1，0)，C(－1，1)，E(0，－3)，S_△CPA＝1．

(1)试求“双抛物线”中经过点A、E、B的抛物线的解析式；

(2)若点F在“双抛物线”上，且S_△FAP＝S_△CAP，请你直接写出点F的坐标；

(3)如果一条直线与“双抛物线”只有一个交点，那么这条直线叫做“双抛物线”的切线．若过点E与x轴平行的直线与“双抛物线”交于点G，求经过点G的“双抛物线”的切线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过点C作CD⊥AB于点D． 　　因为C(－1，1)， 　　所以CD＝1． 　　又S△CPA＝AP·CD＝1， 　　所以AP＝2． 　　因为P(－1，0)， 　　所以A(－3，0)，B(1，0)． 　　设经过点A、E、B抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，则－3＝a(0＋3)(0－1)． 　　解得a＝1． 　　故“双抛物线中”经过点A、E、B抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3(－3≤x≤1)． 　　(2)在“双抛物线”上，使得S△FAP＝S△CAP的点F的坐标为： 　　F1(－－1，1)，F2(－1＋，－1)，F3(－1－，－1)． 　　(3)因为过点E与x轴平行的直线与“双抛物线”交于点G， 　　所以G(x，－3)． 　　因为点G在抛物线上， 　　所以x2＋2x－3＝－3． 　　解得x1＝0，x2＝－2． 　　所以G(－2，－3)． 　　设经过点G的“双抛物线”的切线的解析式为y＝kx＋b，则－3＝－2k＋b． 　　b＝2k－3． 　　所以y＝kx＋2k－3． 　　因为G点在抛物线上，且在切线上， 　　所以x2＋2x－3＝kx＋2k－3． 　　x2＋(2－k)x－2k＝0． 　　因为经过点G的“双抛物线”的切线与“双抛物线”只有一个交点， 　　所以Δ＝b2－4ac＝(2－k)2＋8k＝(2＋k)2＝0． 　　解得k＝－2．故b＝－7． 　　所以经过点G的“双抛物线”的切线的解析式为 　　y＝－2x－7．